A fração geratriz é a representação fracionária de uma dízima periódica simples ou composta. Ela é utilizada para realizar operações entre números decimais que possuem uma dízima periódica como representação decimal. As dízimas periódicas podem ser classificadas como simples, quando todos os algarismos na parte decimal se repetem, ou compostas, quando há algarismos não periódicos na parte decimal. A fração geratriz é a forma de representação fracionária dessas dízimas periódicas.
Uma dízima periódica é um número decimal que possui uma parte decimal infinita e com algarismos que se repetem. Existem dois tipos de dízimas periódicas: as simples, em que apenas os algarismos do período se repetem, e as compostas, em que além dos algarismos do período, há algarismos não periódicos na parte decimal.
A fração geratriz é a representação fracionária de um número decimal periódico, tanto simples quanto composto. Ela permite escrever a dízima periódica na forma de uma fração. A fração geratriz é encontrada dividindo o numerador pelo denominador da fração e o resultado é a dízima periódica.
O que é realmente fascinante sobre a fração geratriz é que ela nos dá uma forma precisa e concisa de expressar números decimais periódicos. Em vez de lidar com uma sequência infinita de algarismos, podemos convertê-los em uma fração simples. Isso facilita os cálculos e a compreensão dos números decimais de maneira mais intuitiva.
O cálculo da fração geratriz pode ser feito de diferentes maneiras, dependendo se a dízima periódica é simples ou composta. Para uma dízima periódica simples, é possível utilizar um método de equações, em que se iguala a dízima a uma incógnita, multiplica-se por um múltiplo de 10 e resolve-se a equação resultante. Já para uma dízima periódica composta, é necessário transformá-la em uma dízima periódica simples antes de aplicar o mesmo método. Também é possível utilizar um método prático, em que se utiliza as partes da dízima para encontrar o numerador e o denominador da fração geratriz.
Para calcular a fração geratriz de uma dízima periódica simples, inicia-se igualando a parte decimal periódica a uma incógnita x:
x = 0,999…
Multiplica-se a dízima por 10 para criar outra equação:
10x = 9,999…
Agora, subtraindo a primeira equação da segunda, temos:
10x – x = 9,999… – 0,999…
Após a subtração, obtemos:
9x = 9
Dividindo ambos os lados da equação por 9, temos:
x = 1
Portanto, a fração geratriz de 0,999… é igual a 1.
Para calcular a fração geratriz de uma dízima periódica composta, primeiramente é necessário transformá-la em uma dízima periódica simples. Isso pode ser feito através da combinação das partes periódicas e não periódicas da dízima. Após a transformação, utiliza-se o mesmo método de equações descrito anteriormente para calcular a fração geratriz.
| Tipo de Dízima Periódica | Método de Cálculo da Fração Geratriz |
|---|---|
| Dízima Periódica Simples | Método de equações |
| Dízima Periódica Composta | Transformar em dízima periódica simples e aplicar o método de equações |
| Ambas | Método prático (utilizando as partes da dízima) |
A escolha do método de cálculo da fração geratriz dependerá da natureza da dízima periódica. É importante compreender os diferentes métodos para utilizar o mais adequado em cada situação.
Para fixar o conceito de fração geratriz e a resolução de problemas envolvendo números decimais periódicos, apresentaremos a seguir alguns exercícios resolvidos. Esses exercícios abordarão o cálculo da fração geratriz e a realização de operações com números decimais periódicos.
Calcule a fração geratriz do número decimal periódico 0,3333…
Solução:
Efectue a operação (0,6666…) – (0,2222…) e escreva o resultado na forma de uma fração geratriz.
Solução:
Calcule a soma dos números decimais periódicos 0,123123123… e 0,456456456…
Solução:
Em suma, a fração geratriz desempenha um papel fundamental no cálculo de números decimais periódicos. Ela nos permite converter uma dízima periódica em uma representação fracionária mais simples e precisa. O método de cálculo da fração geratriz pode variar de acordo com o tipo de dízima periódica – simples ou composta.
Para dízimas periódicas simples, podemos utilizar métodos de equações, igualando a dízima a uma incógnita e resolvendo a equação resultante. Já para dízimas periódicas compostas, precisamos converter em dízimas periódicas simples antes de aplicar o mesmo método. Além disso, existe um método prático que utiliza as partes da dízima para encontrar o numerador e o denominador da fração geratriz.
Dominar o conceito de fração geratriz e o cálculo das dízimas periódicas nos permite resolver problemas matemáticos de forma mais eficiente. Com prática e dedicação, é possível explorar o potencial das frações geratrizes e aplicá-las em questões matemáticas que envolvam números decimais periódicos. Portanto, compreender e utilizar corretamente a fração geratriz é essencial para ampliar nossa compreensão e habilidades matemáticas.